Question

在RT△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC:BC=4:3，点P从点A出发沿AB方向向点B运

Answer 1

解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
　　即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm；
　　（2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，
　　∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x，∵△QHB∽△ACB，
　　∴
，∴QH=
x，y=
BPoQH=
（10﹣x）o
x=﹣
x2+8x（0＜x≤3），
　　②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，
　　∵AP=x，
　　∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x，∵△AQH′∽△ABC，
　　∴
，即：
，解得：QH′=
（14﹣x），
　　∴y=
PBoQH′=
（10﹣x）o
（14﹣x）=
x2﹣
x+42（3＜x＜7）；
　　∴y与x的函数关系式为：y=
；
　　（3）∵AP=x，AQ=14﹣x，
　　∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，∴
，即：
，
　　解得：x=
，PQ=
，∴PB=10﹣x=
，∴
，
　　∴当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似；
　　（4）存在．
　　理由：∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4，AP=x=5，∵AC=8，AB=10，
　　∴PQ是△ABC的中位线，∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC，
　　∴PQ是AC的垂直平分线，∴PC=AP=5，∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小，
　　∴△BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16．∴△BCM的周长最小值为16．