Question

定义域在R的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),且f(3)=6。

（1）求f(0),f(1) （2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明 (3)若对于任意x∈【二分之一，3】都有f（kx*2）+f（2x-1）＜0成立，求实数k的取值范围

Answer 1

定义域在R的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),且f(3)=6。
（1）求f(0),f(1) （2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明 (3)若对于任意x∈【二分之一，3】都有f（kx*2）+f（2x-1）＜0成立，求实数k的取值范围
(1)解析：∵定义域在R的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),
令x=y=0代入得f(0+0)=f(0)+f(0)==>f(0)=0
∵f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=3f(1)=6
∴f(1)=2
(2)解析：令x>0，则-x<0
f(x)+f(-x)=f(x-x)=0==>f(-x)=-f(x)
∴f(x)为奇函数
(3)解析：∵对于任意x∈[1/2,3]都有f(kx*2)+f(2x-1)＜0成立
∴当x>=1/2时，2x-1>=0；当x<=3时，2x-1<=5
要满足题意，则f(kx*2)<-f(2x-1)
∴f(kx*2)<-f(5)==>kx*2<-5
K*1/2*2<-5==>k<-5