Question

如图，已知∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：

①AE平分∠BAD；②AE⊥DE；③AB、CD与AD的数量关系并证明。

Answer 1

(1)过E做AD的垂线交AD于F点

∠1=∠2,∠EFD=∠C=90°,DE=DE,从而△ECD全等于△EFD
所以EF=EC=EB

又∠EFA=∠B=90°，EA=EA，从而△EFA全等于△EBA
故而∠3=∠4
(2)由于∠B+∠C=180°，从而DC//AB
所以∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
又∠3=∠4，∠1=∠2，所以∠1+∠3=90°，故而∠AED=90°
(3)AB+CD=AD
(1)中已经证明了
△ECD全等于△EFD，从而CD=DF
△EFA全等于△EBA，从而AB=AF
故而AB+CD=AF+FD=AD

Answer 2

延长 DE 交AB 的延长线于F
DC平行AB
所以∠EFB=∠2 因为∠2=∠1
所以∠EFB=∠1
所以AD=AF
因为CE=BE
所以三角形CDE全等与三角形EFB
所以三角形ADF为等腰三角形
所以 AE平分∠BAD
AE⊥DE

三角形CDE全等与三角形EFB
所以 BF=CD
所以AD=AF=AB+BF=AB+CD