Question

lim (e^sinx-e^x)/(sinx-x)

Answer 1

有两种方法，都稍微麻烦一些：
1、利用罗比达法则，分子分母求导
lim (e^sinx-e^x)/(sinx-x)=lim(cosxe^sinx-e^x)/(cox-1)
第二次分子分母求导：=lim[(e^sinx)(cox)^2-sinx e^sinx-e^x]/-sinx
第三次分子分母求导，=1

2、用泰勒公式在零点展开：
e^sinx=1+x+(1/2)x^2+o(x^3)
e^x=1+x+(1/2)x^2+(1/6)x^3+o(x^3)
sinx=x-(1/6)x^3+o(x^5) 将上式子代入极限中：
lim (e^sinx-e^x)/(sinx-x)=lim[(-1/6)x^3+o(x^3)]/[(-1/6)x^3+o(x^3)]=1

各式中o(x^3)表示比x^3高阶的无穷小，虽然上述o(x^3)的表示符号一致，但是其值并非相等，他们表示的是完全不同的无穷小代数式。

以上答案仅供参考，如有疑问可继续追问！

追问

第三次求导的结果

追答

第三次求导太长我就没写上，写在这里吧：
=[(cosx)^3e^(sinx)-cosxe^sinx--3sinxcoxe^sinx-e^x]/-cosx 显然代入x=0
=[1-1-1]/-1
=1

Answer 2

还有一种极为简便的做法，我写在这里：分子提取e^x 原式=lime^x[e^(sinx-x)-1]/sinx-x, 因为e^x-1∽x, 所以e^(sinx-x)-1∽sinx-x 代入可得： =lim(sinx-x)/（sinx-x)=1

这种代换是最简便的，尤其在计算填空题时，但是这种代换有时候会产生错误，在正式计算时还是要谨慎使用，但就此题而言，是没有问题的！

我是古木青青，这是我的小号，刚才已经给你回答过了，但是没法补充了，所以就用小号给你回答，希望你能看到！

Answer 3

用泰勒=1