Question

线性代数，求特征值，题很简单，但是 入E-A 和使用A-入E的两种方法，得到多项式居然不同

如上图87年的数学4.其实题目很简单，求特征值，但是我发现个问题，不知道是我那一部出错。当使用 入E-A 和使用A-入E的两种方法，代入行列式，然后别化简，直接把行列式展开。也就是进行斜方向的元素相乘后 再加减。 最后化成只含有λ 的高次多项式
1 两种代入法 得到的却不是同一个多项式，求出来的多项式只有 常数项不同。求了好多遍。课本上例题求出来是相同的，只对这个题不同，希望大家也算下，告诉我是不是我哪错了。希望有人能指正。

2 另外这个题如果展开成三元一次方程，还真不会化回去了，使得不会求方程解。只有在计算行列式时候化简成多个括号，不展开，才容易求解。难道只能这么计算了吗？已展开就傻眼了，有的多项式很难化回去，成为多个括号相乘。

Answer 1

|λE-A|=|λ+3，1，-2；0，λ+1，-4；1，0，λ-1|=(λ+3)(λ^2-1)-4+2(λ+1)=λ^3+3λ^2+λ-5
|A-λE|=|-3-λ，-1，-2；0，λ+1，-4；1，0，λ-1|=-(λ+3)(λ^2-1)+4+2(-1-λ)=-(λ^3+3λ^2+λ-5)vi
只错一个符号，也就是说可以认为特征多项式是一样的。所以一定是你算错了。求根也是一样的，只存在技巧问题。

Answer 2

|λE-A|和|A-λE|相等么？不一定。A是偶数阶才相等。
但是他们只差一个负号。所以当令其为0的时候，求出来的λ一定是一样的。

这边求出来，都是λ^3+3λ^2+λ-5=0 （负号两边可以消掉）

化成这个方程求特征值应该这样做。
首先第一步是猜一个根，你放心，肯定能猜出来，0,1，-1，最多-2,2，肯定有一个是。
这边我们发现1是一个根，于是写成
(λ-1)()=λ^3+3λ^2+λ-5
下面就是把（）里面的部分凑出来
(λ-1)(λ^2....)=λ^3-λ^2 但是右边应该是3λ^2，也就是我们需要加上一个4λ^2，所以继续凑

(λ-1)(λ^2+4λ)=λ^3-λ^2+ 4λ^2-4λ，三次和二次都凑好了。--4λ还需要加上5λ才能变成λ，继续凑
(λ-1)(λ^2+4λ+5)=λ^3-λ^2+ 4λ^2-4λ+5λ-5=λ^3+3λ^2+λ-5

这样就凑成多项式的乘积了，我们发现，应该是有一个实根1和两个复根。

Answer 3

两者只差一个负号
|λE-A| =
|λ+3 1 -2|
|0 λ+1 -4|
|1 0 λ-1|
按第 3 行展开得
|λE-A| = -4+2(λ+1) + (λ-1)(λ+1)(λ+3)
= 2(λ-1) + (λ-1)(λ+1)(λ+3)
= (λ-1)[2+(λ+1)(λ+3)]
= (λ-1)(λ^2+4λ+5) = 0
实特征值 λ = 1.
|A-λE| = (-1)^3 |λE-A| = -(λ-1)(λ^2+4λ+5) = 0
实特征值 λ = 1.