已知函数f(x)=1/2x²-alnx(a∈R)
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1)
解:
f(x)=1/2x²-alnx(a∈R)
定义域:x>0
那么f的导数
f
'(x)=x-a/x
a、当f
'(x)=x-a/x>0时,为单调递增函数;
x^2>a
讨论若a<=0,则f在定义域内恒为单调递增函数
若a>0,则
x>根号a
或
x<-根号a
时为单调递增函数
b、当f
'(x)=x-a/x<0时,为单调递减函数;
讨论若a<=0,则f在定义域内恒为单调递增函数
若a>0,则
根号a>x>-根号a
时为单调递减函数
2)假设
当x>1时,1/2x²+lnx<2/3x三次方成立
那么1/2x²+lnx-2/3x<0
令g(x)=1/2x²+lnx-2/3x
g(1)=-1/6
<0
因此只要证明g(x)在x>1时,恒为单调递减函数;
对g求导:
则g
'(x)=x+1/x-2/3
<0
因为x>1
所以x+1/x>2
所以g
‘(x)>4/3>0
为单调递增函数,所以
当x>1时,1/2x²+lnx<2/3x三次方不成立
解:
f(x)=1/2x²-alnx(a∈R)
定义域:x>0
那么f的导数
f
'(x)=x-a/x
a、当f
'(x)=x-a/x>0时,为单调递增函数;
x^2>a
讨论若a<=0,则f在定义域内恒为单调递增函数
若a>0,则
x>根号a
或
x<-根号a
时为单调递增函数
b、当f
'(x)=x-a/x<0时,为单调递减函数;
讨论若a<=0,则f在定义域内恒为单调递增函数
若a>0,则
根号a>x>-根号a
时为单调递减函数
2)假设
当x>1时,1/2x²+lnx<2/3x三次方成立
那么1/2x²+lnx-2/3x<0
令g(x)=1/2x²+lnx-2/3x
g(1)=-1/6
<0
因此只要证明g(x)在x>1时,恒为单调递减函数;
对g求导:
则g
'(x)=x+1/x-2/3
<0
因为x>1
所以x+1/x>2
所以g
‘(x)>4/3>0
为单调递增函数,所以
当x>1时,1/2x²+lnx<2/3x三次方不成立
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解:
1)
函数f(x)=x^2
alnx的定义域是(0,
∞),
因为a=-2
所以f(x)=x^2-2lnx
f′(x)=2x-2/x。
令f′(x)=0,得x=1.
所以当0<x<1时,有f′(x)=2x-2/x<0,
故函数f(x)是在区间(0,1)上递减。
2)
g(x)=f(x)
(2/x)=x^2
alnx
(2/x)
所以:g'(x)=2x
(a/x)-(2/x^2)=(2x^3
ax-2)/x^2
因为x∈[1,
∞),所以:x^2>0
则,令h(x)=2x^3
ax-2
要满足g(x)在[1,
∞)上是单调增函数,则g'(x)在该区间上大于零,
即函数h(x)在该区间上的最小值大于零.
h'(x)=6x^2
a
,h''(x)=12x>0
所以,h'(x)为单调增函数
所以,h'(x)在[1,
∞)上的最小值为h'(1)=6
a
所以,6
a>0
则a>-6
1)
函数f(x)=x^2
alnx的定义域是(0,
∞),
因为a=-2
所以f(x)=x^2-2lnx
f′(x)=2x-2/x。
令f′(x)=0,得x=1.
所以当0<x<1时,有f′(x)=2x-2/x<0,
故函数f(x)是在区间(0,1)上递减。
2)
g(x)=f(x)
(2/x)=x^2
alnx
(2/x)
所以:g'(x)=2x
(a/x)-(2/x^2)=(2x^3
ax-2)/x^2
因为x∈[1,
∞),所以:x^2>0
则,令h(x)=2x^3
ax-2
要满足g(x)在[1,
∞)上是单调增函数,则g'(x)在该区间上大于零,
即函数h(x)在该区间上的最小值大于零.
h'(x)=6x^2
a
,h''(x)=12x>0
所以,h'(x)为单调增函数
所以,h'(x)在[1,
∞)上的最小值为h'(1)=6
a
所以,6
a>0
则a>-6
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