Question

已知函数f（x）=1/2x²-alnx（a∈R）

Answer 1

1)
解：
f（x）=1/2x²-alnx（a∈R）
定义域：x>0
那么f的导数
f
'(x)=x-a/x
a、当f
'(x)=x-a/x>0时，为单调递增函数；
x^2>a
讨论若a<=0，则f在定义域内恒为单调递增函数
若a>0，则
x>根号a
或
x<-根号a
时为单调递增函数
b、当f
'(x)=x-a/x<0时，为单调递减函数；
讨论若a<=0，则f在定义域内恒为单调递增函数
若a>0，则
根号a>x>-根号a
时为单调递减函数
2）假设
当x＞1时，1/2x²+lnx＜2/3x三次方成立
那么1/2x²+lnx-2/3x<0
令g（x）=1/2x²+lnx-2/3x
g（1）=-1/6
<0
因此只要证明g（x）在x>1时，恒为单调递减函数；
对g求导：
则g
'(x)=x+1/x-2/3
<0
因为x>1
所以x+1/x>2
所以g
‘（x）>4/3>0
为单调递增函数，所以
当x＞1时，1/2x²+lnx＜2/3x三次方不成立

Answer 2

解：
1)
函数f(x)=x^2
alnx的定义域是（0，
∞），
因为a=-2
所以f(x)=x^2-2lnx
f′(x)=2x-2/x。
令f′(x)=0，得x=1.
所以当0<x<1时，有f′(x)=2x-2/x<0,
故函数f(x)是在区间（0，1）上递减。
2)
g(x)=f(x)
(2/x)=x^2
alnx
(2/x)
所以：g'(x)=2x
(a/x)-(2/x^2)=(2x^3
ax-2)/x^2
因为x∈[1,
∞)，所以：x^2＞0
则，令h(x)=2x^3
ax-2
要满足g(x)在[1,
∞)上是单调增函数，则g'(x)在该区间上大于零，
即函数h(x)在该区间上的最小值大于零.
h'(x)=6x^2
a
，h''(x)=12x＞0
所以，h'(x)为单调增函数
所以，h'(x)在[1,
∞)上的最小值为h'(1)=6
a
所以，6
a＞0
则a＞-6