Question

已知函数f（x）=1/2x²-alnx（a∈R）

（1）求f（x）的单调区间；
（2）当x＞1时，1/2x²+lnx＜2/3x三次方是否成立，并说明理由

Answer 1

1) 解： f（x）=1/2x²-alnx（a∈R） 定义域：x>0
那么f的导数 f '(x)=x-a/x
a、当f '(x)=x-a/x>0时，为单调递增函数；
x^2>a
讨论若a<=0，则f在定义域内恒为单调递增函数
若a>0，则 x>根号a 或 x<-根号a 时为单调递增函数
b、当f '(x)=x-a/x<0时，为单调递减函数；
讨论若a<=0，则f在定义域内恒为单调递增函数
若a>0，则 根号a>x>-根号a 时为单调递减函数

2）假设 当x＞1时，1/2x²+lnx＜2/3x三次方成立
那么1/2x²+lnx-2/3x<0
令g（x）=1/2x²+lnx-2/3x
g（1）=-1/6 <0
因此只要证明g（x）在x>1时，恒为单调递减函数；
对g求导：
则g '(x)=x+1/x-2/3 <0
因为x>1
所以x+1/x>2
所以g ‘（x）>4/3>0
为单调递增函数，所以
当x＞1时，1/2x²+lnx＜2/3x三次方不成立