Question

已知函数f（x）=alnx-1/x，a∈R

（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值
（2）求函数f（x）的单调区间
（3）当a=1，且x≥2时，证明：f（x-1）≤2x-5

求解答 。详细一点 感谢 感谢。

Answer 1

已知函数f(x)=alnx-1/x,a∈R
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+2y=0垂直,求a的值
f’(x)=a/x+1/x^2
f’(1)=a+1
x+2y=0斜率k=-1/2
切线斜率=2
a+1=2
a=1

(2)求函数f(x)的单调区间
f’(x)=a/x+1/x^2
令f’(x)=0
a/x+1/x^2=0
x=-1/a
f’’(x)=-a/x^2-2/x^3
f’’(-1/a)=-a/(1/a^2)+2/(1/a^3)
=-a^3+2a^3=a^3

a>0 f’’(-1/a)>0
f(-1/a)为极小值
x<-1/a f(x)减
x>-1/a f(x)增

a<0 f’’(-1/a)<0
f(-1/a)为极大值
x<-1/a f(x)增
x>-1/a f(x)减

a=0
g’(x)=1/x^2>0 f(x)增

(3)当a=1,且x≥2时,证明:f(x-1)≤2x-5
g(x)=f(x-1)-2x+5
=ln(x-1)-1/(x-1)-2x+5
g’(x)=1/(x-1)+1/(x-1)^2-2
g’(x)=0
1/(x-1)+1/(x-1)^2-2=0
2(x-1)^2-(x-1)-1=0
(2(x-1)+1)((x-1)-1)=0
(2x+1)(x-2)=0
x=-1/2 x=2
x≥2
g’(x)=1/(x-1)+1/(x-1)^2-2≤0
g(2)为最大值
g(2)=ln(2-1)-1/(2-1)-4+5
=0-1-4+5=0
x≥2
g(x)≤0
f(x-1)-2x+5≤0
f(x-1)≤2x-5

Answer 2

解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′(x)=
ax+1x2．
又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y-50垂直，
所以f'（1）=a+1=2，即a=1． （2）由f′(x)=
ax+1x2，
当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，所以f（x）的单调增区间为（0，+∞）．
当a＜0时，由f'（x）＞0，得0＜x＜-
1a，所以f（x）的单调增区间为(0，-
1a)；
由f'（x）＜0，得x＞-
1a，所以f（x）的单调减区间为(-
1a，+∞)． （3）设g（x）=alnx-1x-2x+3，x∈[1，+∞），∴g′(x)=
-2x2+ax+1x2
设h（x）=-2x2+ax+1，h（0）=1＞0
当a≤1时，h（x）=-2x2+ax+1的对称轴为x=
a4＜1，h（x）在[1，+∞）上是减函数，h（x）≤h（1）=a-1≤0
∴g′（x）≤0，g（x）在[1，+∞）上是减函数
∴g（x）≤g（1）=0，即f（x）≤2x-3
当a＞1时，令h（x）=-2x2+ax+1=0得x1=
a+
a2+84＞1，x2=
a-
a2+84＜ 0
当x∈[1，x1）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）在[1，x1）上是增函数；
当x∈（x1，+∞）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）在[1，x1）上是减函数；
∴g（1）＜g（x1），即f（x1）＞2x-3，不满足题意
综上，实数a的取值范围为a≤1