Question

设函数f(x)=alnx+1/2ax²-2x,a∈R

Answer 1

1)
a=1时，f(x)=lnx+1/2x^2-2x
f'(x)=1/x+x-2=(x^2-2x+1)/x=(x-1)^2/x>=0
因此f(x)在定义域x>0上单调增
在区间[1,
e]上最大值为f(e)=1+1/2*e^2-2e
2)a>=0时，f'(x)=a/x+ax-2=(ax^2-2x+a)/x
a=0时，f(x)=-2x,
在定义域x>0上单调减
0<a<1时，由f'(x)=0,
得：x1=[1+√(1-a^2)]/a,
x2=[1-√(1-a^2)]/a
当x>x1时或0<x<x2时，单调增
当x2<x<x1时，单调减
a=1时，由上，在定义域x>0上单调增
a>1时，因为f'(x)恒大于0，所以在定义域x>0上单调增

Answer 2

1)
a=1时，f(x)=lnx+1/2x^2-2x
f'(x)=1/x+x-2=(x^2-2x+1)/x=(x-1)^2/x>=0
因此f(x)在定义域x>0上单调增
在区间[1,
e]上最大值为f(e)=1+1/2*e^2-2e
2)a>=0时，f'(x)=a/x+ax-2=(ax^2-2x+a)/x
a=0时，f(x)=-2x,
在定义域x>0上单调减
0
x1时或0
0上单调增
a>1时，因为f'(x)恒大于0，所以在定义域x>0上单调增

Answer 3

1)
a=1时，f(x)=lnx+1/2x^2-2x
f'(x)=1/x+x-2=(x^2-2x+1)/x=(x-1)^2/x>=0
因此f(x)在定义域x>0上单调增
在区间[1,
e]上最大值为f(e)=1+1/2*e^2-2e
2)a>=0时，f'(x)=a/x+ax-2=(ax^2-2x+a)/x
a=0时，f(x)=-2x,
在定义域x>0上单调减
0<a<1时，由f'(x)=0,
得：x1=[1+√(1-a^2)]/a,
x2=[1-√(1-a^2)]/a
当x>x1时或0<x<x2时，单调增
当x2<x<x1时，单调减
a=1时，由上，在定义域x>0上单调增
a>1时，因为f'(x)恒大于0，所以在定义域x>0上单调增