Question

设函数f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=0,f(1)=1,求证:存在一点ξ∈[0,1]使得f(ξ)=ξ

Answer 1

这不是一道好题，如果是你自己的思考值得赞扬，如果是来自资料则这个资料很差。
设g(x)=f(x)-x
，g(x)在[0.1]连续
g(0)=f(0)-0=0,g(1)=f(1)-1=0
0∈[0,1]满足要求，1∈[0,1]也同样满足要求。
如果将条件改为ξ∈（0,1）
则有例子：f(x)=x²,满足f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=0,f(1)=1，但不存在ξ∈（0,1）
使得
f(ξ)=ξ

Answer 2

函数f(x)在[0,1]上连续,且f(1)=0,f(0)=1
=>存在一点ξ∈[0,1]使得f`(ξ)=[f(1)-f(0)]/(1-0)=-1且f(ξ)=ξ
=>f`(ξ)=-f(ξ)/ξ