Question

已知函数f(x)=(2^x-a)^2+(2^(-x)+a)^2,x∈[-1,1]。已知函数f(x)=(2^x-a)^2+(2^(-x)+a)^2,x∈[-1,1]。

已知函数f(x)=(2^x-a)^2+(2^(-x)+a)^2,x∈[-1,1]。
（1）求f(x)的最小值（用a表示）；
（2）关于x的方程f(x)=2a^2有解，求实数a的取值范围

Answer 1

（1）展开平方整理式子得到f(x)=(2^x-a)^2+(2

令t=2^x-2^(-x),则有g(t)=t^2+2-2at+2a^2

因为x∈[-1,1]，所以2^x∈[1/2,2],所以t∈[-3/2,3/2]

当a>3/2时，最小值为t=3/2时，即2a^2-3a+17/4

当-3/2≤a≤3/2时，最小值为t=a时，即a^2+2

当a<-3/2时，最小值为t=-3/2,即2a^2+3a+17/4

（2）方程整理之后为t^2+2-2at=0

当Δ=0时，即a=+-根号2，此时根为t=a在t的取值范围内，满足条件

当Δ>0时，即a>根号2或a<-根号2

经计算发现g(-3/2)和g(3/2)均大于0

所以只需对称轴t=a属于[-3/2,3/2]

综上所述，a的取值范围是[-3/2,-根号2]并[根号2,3/2]

 

 

Answer 2

f(x)=(2^x-a)^2+(2^(-x)+a)^2
=2^(2x)-2a2^x+a^2+2^(-2x)-2a2^(-x)+a^2
=2^(2x)+2^(-2x)-2a(2^x+2^(-x))+2a^2
=[2^x+2^(-x)]^2-2a(2^x+2^(-x))+2a^2-2
=[2^x+2^(-x)-a]^2+a^2-2
若a≥5/2,则x=1时有最小值=[5/2-a]^2+a^2-2
若a≤2，则x=0时有最小值=[2-a]^2+a^2-2
若2<a<5/2则有最小值=a^2-2

关于x的方程f(x)=2a^2有解
f(x)=2^(2x)+2^(-2x)-2a(2^x+2^(-x))+2a^2＝2a^2
2^(2x)+2^(-2x)-2a(2^x+2^(-x))=0
2^(4x)+1-2a(2^(2x)+1)=0
4^(2x)-2a*4^x+1-2a=0
这是关于4^x的一元二次方程
若有解即△=(-2a)^2-4(1-2a)≥0
a^2+2a-1≥0
a≥-1+√2，a≤-1-√2
又4^x=[2a±2√(a^2+2a-1)]＞0
故a≥-1+√2

追问

不对吧，不应该用动轴定区间吗

Answer 3

f(x)=(2^x-a)^2+(2^(-x)+a)^2
=2^(2x)-2a2^x+a^2+2^(-2x)-2a2^(-x)+a^2
=2^(2x)+2^(-2x)-2a(2^x+2^(-x))+2a^2
=[2^x+2^(-x)]^2-2a(2^x+2^(-x))+2a^2-2
=[2^x+2^(-x)-a]^2+a^2-2
若a≥5/2,则x=1时有最小值=[5/2-a]^2+a^2-2
若a≤2，则x=0时有最小值=[2-a]^2+a^2-2
若2<a<5/2则有最小值=a^2-2

关于x的方程f(x)=2a^2解
f(x)=2^(2x)+2^(-2x)-2a(2^x+2^(-x))+2a^2＝2a^2
2^(2x)+2

Answer 4

dengyu0