Question

如图所示，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，

延长AI交圆O于点D，连接BD、DC．

（1）求证：BD=DC=DI；
（2）若圆O的半径为10cm，∠BAC=120°，求△BDC的面积．

Answer 1

证明∵ ∠3=∠6    又∵∠2=∠1       ∴∠3+∠2=∠∠6+∠1

        又∠6=∠5       ∴∠3+∠2=∠5+∠1

又∠5+∠1=∠4        ∴∠3+∠2=∠4          ∴DB=DI

  ∵∠5=∠6   ∴DB=DC      ∴DB=DI=DC

Answer 2

∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
∴BD=CD
∵BD=CD
∴∠BAD=∠CBD
而∠DBI=∠DBC+∠CBI
∠BID=∠BAD+∠ABI
又∵BI平分∠ABC，∴∠CBI=∠ABI
∴∠DBI=∠BID
∴BD=DI，故BD=DI=DC
（2)连结BO、CO，作OM⊥BC
∵∠BAC=120°，∴∠BAD=∠BCD=60°，
∵BD=DC，∴△BDC为等边三角形
∴∠BDC=60°
∠BOC=120°
∵OB=OC=5
在RT△OCM中，∠OCB=30°
∴OM=1/2OC=5/2
MC=√OC²-OM²=√5²-(5/2)²=5/2√3
∴BC=2MC=5√3
△BDC的高是√CD²-MC²=√(5√3)²-(5/2√3)²=15/2
所以S△BDC=1/2×5√3×15/2=75/4√3

追问

抱歉 正确结果是75倍根号3
但还是很谢谢你！

追答

对不起，看错了
OB=OC=10
在RT△OCM中，∠OCB=30°
所以om=1/2OC=5
MC=√OC²-OM²=5√3
所以BC=2MC=10√3
△BDC的高为√CD²-MC²=15
所以S△BDC=1/2×10√3×15=75√3

Answer 3

∠BAC与∠ABC的平分线相交与点I
∠ABI=∠CBI
∠BAI=∠CAI
∠DBC=∠DAC
∠DCB=∠BAI
∠DBC=∠DCB
DB=DC
∠DBI=∠DBC+∠CBI
∠DIB=∠BAI+∠CBI
∠DBI=∠DIB
DB=DI
BD=DC=DI

因∠BAC=120°，AI平分，∠BAC=120°
所以∠BAD=∠CAD=60°
圆周角∠BAD=∠BCD=60°
∠CBD=∠CAD=60°
所以△BDC为正三角形
因为圆O直径10，连BO,CO，作OG垂直BC，
BO=CO=5，CG=COXCOS30°=5根号3/2
BC=2CG=5根号3
面积=BCXBCX(根号3/2)/2=75根号3/4