Question

求数学高手！微积分求极值！

f(x) = sec^2(x) - 2(1+根号3)tan(x) + (2根号3)ln(tan(x))
求极值，x在{0, pi/2}
要带下过程

Answer 1

令tanx=t，考虑f(t)=1+t^2-2(1+根号(3))t+2根号(3)lnt，0<t<无穷
f'(t)=2t-2(1+根号(3))+2根号(3)/t
=2(t-1)(t-根号(3))/t。
故当0<t<1时，f'(t)>0，f(t)递增；
当1<t<根号(3)时，f'(t)<0，f(t)递减；
当根号(3)<t时，f'(t)>0，f(t)递增；
t=1即x=pi/4时，是极大值点，极大值是-2根号(3)。
t=根号(3)即x=pi/3时，是极小值点，极小值是根号(3)ln3-2-2根号(3)。

Answer 2

函数求导=2sec^2(x)*tan(x)+2(1+根号3)sec^2(x)+2*根号3cot(x)sec^2(x)
令其等于0解得tan(x)=-1或-3
函数在定义域内单调递减
极值不存最大值不存在
最小值在π/2处取到

Answer 3

一维搜索问题，用不同的x计算f(x)，找出极值就行了。