Question

求曲线y＝根号x上的动点到点（1/2，0）的最小距离。

Answer 1

(1)当双曲线焦点在x轴上时，由渐近线方程可知，b/a＝1/2，当a(5,0)在双曲线右支与x轴交点左侧或右侧时，a与焦点的距离为最小值根号下6，两种情况讨论，可得a＝5＋根号下6或5－根号下6，则b＝（5＋根号下6）/2或（5－根号下6）/2，所以双曲线方程为x平方/（5－根号下6）平方－y平方/【(5－根号下6)除以2】平方或x平方/(5＋根号下6)平方－y平方/【(5＋根号下6)除以2】平方。
(2)当双曲线焦点在y轴上时，a点到双曲线最近距离为双曲线上一切点，设为m(x0，y0)，所以切线方程为（y0y）/a平方－（x0x）/b平方＝1，此切线方程斜率为x0(a的平方)除以(b的平方)y0，它与点a与m所成的直线斜率y0/（x0－5）之积为－1，联立由渐近线方程得出的a/b＝1/2恰好解得x0＝4，所以m为(4，y0)，由am等于根号下6根据两点间距离公式解得y0＝根号下5或－根号下5，将m点坐标代入双曲线方程y平方/a平方－x平方/b平方＝1，联立a/b＝1/2解得a平方＝1，b平方＝4，所以此时双曲线方程为y平方/1－x平方/4＝1
综上所述当焦点在x上时，双曲线方程为……当焦点在y上时，双曲线方程为……(字太难打了，暂用……代替)。

Answer 2

答：
y=√x，y^2=x，y>0
设动点为（x，√x)，到点（1/2,0）的距离
f(x)=√[(x-1/2)^2+(√x-0)^2]
=√(x^2-x+1/4+x]
=√(x^2+1/4)
当且仅当x=0时f(x)取得最小值1/2
所以：动点为原点（0,0）时，与点(1/2,0)的最小距离为1/2

Answer 3

设动点为(x,y)
距离s=√((x-1/2)^2+y^2
【^2代表平方的意思】
=√((x-1/2)^2+x)
=√(x^2+1/4)
观察这个式子，当x=0的时候，会取得最小值
s=√1/4
=1/2
当x=0时，曲线到s点（1/2，0）的最小距离的最小值为1/2