Question

曲线根号x+根号y=1的点到原点的距离最小值为？

最好写出证明，或者在纸上写好发我，因为这样看的比较方便，谢谢

Answer 1

设A（x，y）在根号x+根号y=1上，A到原点的距离为√（x^2+y^2)
重要不等式(a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]
√x+√y≤√2√(x+y)≤√2*√(√2*√(x^2+y^2))
令√（x^2+y^2)=t
1≤√2√(x+y)≤√2*√(√2*t)
(√2*t)≥1/2
t≥√2/4
两次取等号都是在x=y时取得，所以曲线根号x+根号y=1的点到原点的距离最小值为√2/4

Answer 2

任意取曲线上一点M(x,y)
∵M在曲线上,所以√x
+
√y
=
1
而此点到原点的距离根据点到点的距离公式得到距离d=√(x^2+y^2)
根据不等式a+b≤(a^2+b^2)/2
所以1=√x
+
√y≤[(√x)^2+(√y)^2)]/2
=(x+y)/2
所以(x+y)/2≥1所以x+y≥2
又因为2≤x+y≤(x^2+y^2)/2
所以2≤(x^2+y^2)/2
所以x^2+y^2≥4
所以距离d=√√4=√2
当且仅当x=y时取得等号,此时x=y=1/4
所以M(1/4.1/4)
距离最小是√2/4

Answer 3

∵x=cos^4α,y=sin^4α
∴曲线根号x+根号y=1的点可设为P（cos^4α,sin^4α)
∴该点到原点的距离|PO|=√(cos^8α+sin^8α)
=√[(cos^4α+sin^4α)^2-2cos^4αsin^4α]
=√{[(cos^2α+sin^2α)^2-2cos^2αsin^2α]^2-2cos^4αsin^4α}
=√[(1-2cos^2αsin^2α)^2-2cos^4αsin^4α]
=√{[1-1/2(sin2α)^2]^2-1/8(sin2α)^4}
令sin2α＝2t,
则|PO|=√[(1-2t^2)^2-2t^4](-1/2≤t≤1/2)
令t^2=m,则
|PO|=√[(1－2m)^2-2m^2]=√[2m^2-4m+1]=√[2(m-1)^2-1](0≤m≤1/4)
当m=1/4时，|PO|取得最小，其值为√2/4.

Answer 4

易知，0《x,y《1.设x=t^2(0《t《1).则y=(1-t)^2.曲线上的点(t^2,(1-t)^2)到原点的距离d为：d^2=f(t)=t^4+(1-t)^4.故问题可化为，求函数f(t)=t^4+(1-t)^4在[0,1]上的最小值。求导得f'(t)=4t^3-4(1-t)^3=0===>t=1/2.经讨论知，当t=1/2时，函数f(t)取得最小值，f(t)min=f(1/2)=2*(1/2)^4.故曲线上的点到原点的距离最小为√2/4.