Question

计算曲面积分∫∫(z^2+x)dydz，其中S是旋转抛物面z=(x^2+y^2)介于平面z=0及z=1之间的部分的下侧。

Answer 1

用高斯公式做，补充平面s‘：z=1，取上侧，则s+s’构成一闭曲面，对其使用公式公式，令p=x，q=y+y^2，r=z，则ðp/ðx+ðq/ðy+ðr/ðz=3+2y，所以i+i'=∫∫∫(3+2y)dxdydz=3∫∫∫dxdydz+∫∫∫2ydxdydz，第一个积分=3∫dz∫∫dxdy=3∫πzdz=3π/2，第二个积分被积函数是关于y的奇函数，积分区域关于xoz平面对称，故积分=0，所以i+i'=3π/2。再计算l'，在z=1平面上dz=0，所以l'=∫∫dxdy=π，所以l=3π/2-π=π/2

Answer 2

加个盖子S1：x²+y²≤4的上侧.
S1和S构成封闭曲面的外侧.
对S1+S应用GAUSS，有
∫∫
(z^2+x)dydz-zdxdy
=
∫∫∫
0
dv=0.
S1+S
Ω
盖子S1的曲面积分中，dz=0,z=2,故
∫∫
(z^2+x)dydz-zdxdy
=
-2
∫∫
dxdy
=-8π.
S1
Dxy
∫∫
(z^2+x)dydz-zdxdy
=
0-(-8π)=8π.
S