Question

在n重伯努利试验中，若每次试验成功的概率为p，则成功次数是奇数次的概率为______

Answer 1

设成功次数为随机变量X，则P(X＝k)＝
C
k
n
pkqn?k（k=0，1，2，…，n），其中q=1-p
∴设成功次数是偶数次的概率为Y，则
Y＝
C
0
n
qn+
C
2
n
p2qn?2+…
∴成功次数是奇数次的概率为1-Y
由于(q+p)n＝
C
0
n
qn+
C
1
n
pqn?1+
C
2
n
p2qn?2+…+
C
n
n
pn，
(q?p)n＝
C
0
n
qn?
C
1
n
pqn?1+
C
2
n
p2qn?2?…+
C
n
n
pn，
∴2Y=（q+p）n+（q-p）n=1+（q-p）n
∴1?Y＝1?
1
2
[1+(q?p)n]=
1
2
[1?(1?2p)n]