Question

设Ik＝∫kπ0ex2sinxdx（k=1，2，3），则有（　　）A．I1＜I2＜I3B．I3＜I2＜I1C．I2＜I3＜I1D．I2＜I1＜

Answer 1

由于当x∈（π，2π）时sinx＜0，可知
∫
2π
π
ex2sinxdx＜0，也即I2-I1＜0，可知I1＞I2．

又由于
∫
3π
π
ex2sinxdx＝
∫
2π
π
ex2sinxdx+
∫
3π
2π
ex2sinxdx，对
∫
3π
2π
ex2sinxdx做变量代换t=x-π得：
∫
3π
2π
ex2sinxdx＝
∫
2π
π
e(t+π)2sin(t+π)dt＝?
∫
2π
π
e(t+π)2sntdt＝?
∫
2π
π
e(x+π)2sinxdx，

故
∫
3π
π
ex2sinxdx＝
∫
2π
π
(ex2?e(x+π)2)sinxdx，由于当x∈（π，2π）时sinx＜0，ex2?e(x+π)2＜0，

可知
∫
3π
π
ex2sinxdx＞0，也即I3-I1＞0，可知I3＞I1．

综上所述有I2＜I1＜I3，故选（D）．