Question

如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：y=- 1/2x+m与x、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C（-

1）求点D的坐标和直线l的解析式；
（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）如图2，将直线l沿y轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（写解题过程）
求第三题P（-4，-8/3）过程

Answer 1

(1)CD∥Y轴;CD=10;设CD交X轴于E,则:CE=4.

∴DE=CD-CE=6,即D为(-4,6).

直线y=(-1/2)x+m过点D,则:6=(-1/2)*(-4)+m, m=4.

故:直线l为y=(-1/2)x+4.

(2)直线y=(-1/2)x+4与X轴,Y轴分别交于A(8,0),B(0,4),则:OA=8,OB=4.

作CM垂直Y轴于M.

∵∠BMC=∠AOB=90°,CM=BO=4,BM=AO=8.

∴⊿BMC≌⊿AOB,BC=AB;∠CBM=∠BAO.

则:∠CBM+∠ABO=∠BAO+∠ABO=90°,故⊿ABC为等腰直角三角形.

(3)符合条件的点P共有5个,分别为:(-4,-8/3),(-4,8),(-4,4),(-4,-4)和(-4,-12).

【下面重点说一下如何求出点P(-4,-8/3),即图中的P1坐标.】

直线y=(-1/2)x+m与Y轴交于B'(0,m),与X轴交于A'(2m,0),则OB'=-m,OA'=-2m.

若P满足P1A'=A'B',P1A'垂直A'B'时,易证出⊿P1EA'≌⊿A'OB'.

∴P1E=A'O=-2m;  EA'=OB'=-m,EA'+OA'=-m+(-2m),即4=-3m, m=-4/3.

故:P1E=-2m=8/3,得点P1为(-4, -8/3).

Answer 2

(1)CD∥Y轴;CD=10;设CD交X轴于E,则:CE=4.
∴DE=CD-CE=6,即D为(-4,6).
直线y=(-1/2)x+m过点D,则:6=(-1/2)*(-4)+m, m=4.
故:直线l为y=(-1/2)x+4.
(2)直线y=(-1/2)x+4与X轴,Y轴分别交于A(8,0),B(0,4),则:OA=8,OB=4.
作CM垂直Y轴于M.
∵∠BMC=∠AOB=90°,CM=BO=4,BM=AO=8.
∴⊿BMC≌⊿AOB,BC=AB;∠CBM=∠BAO.
则:∠CBM+∠ABO=∠BAO+∠ABO=90°,故⊿ABC为等腰直角三角形.
(3)符合条件的点P共有5个,分别为:(-4,-8/3),(-4,8),(-4,4),(-4,-4)和(-4,-12).