Question

已知一次函数f(x)为增函数,且f[f(x)]=4x+9,g(x)=mx+m+3(m∈R)

已知一次函数f(x)为增函数,且f[f(x)]=4x+9,g(x)=mx+m+3(m∈R)
（1）当x∈[-1,2]时，若不等式g（x）>0恒成立，求m取值范围。
（2）如果函数F（x）=f（x）g（x）为偶函数，求m值。
（3）当函数f（x）与g（x）满足f（g（x））=g（f（x））时，求函数h（x）=f（x）+根号下[g（x）]的值域。

求详细过程。谢谢亲

Answer 1

（1）mx+m+3>0(由于g(x)是单调函数，所以g(x)>0在【-1,2】就是g(-1)>0,g(2)>0);
-m+m+3>0;
2m+m+3>0;
解不等式得m>-1;
(2)
设f(x)=kx+b,
那么f(f(x))=k^2x+kb+b,
对照系数得k^2=4,kb+b=9,
解得k=2,b=3或k=-2,b=-9
f(x)=2x+3或f(x)=-2x-9；

又f(x)为增函数；
所以f(x)=2x+3；
F（x）=f（x）g（x）=(2x+3)(mx+m+3)=2mx²+3（m+3）+(5m+6)x;
由于F(x)是偶函数F(-x)=F(x);
得5m+6=0;
m=-6/5;
(3)
由f（g（x））=g（f（x））
4(mx+m+3)+9=m(4x+9)+m+3;
整理；
得m=3;
g(x)=3x+6;
另t=根号（3x+6）;t>=0;
x=t²/3-2;
f(t)=2(t²/3-2)+3=2t²/3-1;
h(x)=f(x)+根号g(x)
h(t)=f(t)+t=2t²/3+t-1;t>=0;
-b/2a<0;所以h(t)递增；
h(0)=-1;
值域[-1,无穷)；
不懂可追问！

追问

亲。。。f（x）才是增函数。g（x）不是。。。你是不是看错了、

追答

你是说第一问吗？由于g(x)是单调函数
这句话吗？
这里g(x)是一次函数（或常量），所以要么递增，要么递减，只能取一种，所以是单调的，我说他单调，没说他递增递减；

追问

恩。谢谢你了。我知道了。

追答

不客气