Question

(x/2-1/立方根x)^n展开式中,只有第5项二项式系数最大,则展开式中常数项为？

Answer 1

解答：∵(a+b)^n的展开式中，
当n是偶数时，中间的一项Cnn/2取得最大值；
当n是奇数时，中间的两项Cnn-1/2，Cnn+1/2相等。
又∵在[x/2-1/x^(1/3)]^n的展开式中,
只有第5项的二项式系数最大，
∴n为偶数且n/2=4，即n=8。
∴根据二项式展开式的通项公式可得：
T8r=C8r（x/2）^(8-r)[-1/x^(1/3)]^r
=(-1)^r×C8r×2^(r-8)×x^(8-4r/3)
∴应有：8-4r/3=0，可得r=6
∴常数项为T86=(-1)^6×C86×2^(6-8）
=1×C86×1/4
=1×28×1/4
=7
故选择B。
注：本题在求n时，
用到了教材108页二项式系数性质（2）增减性与最大值。