如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上一点,PE⊥BC,PF⊥CD,垂足分别为E、F,求证AP⊥EF。
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延长FP与AB交于G
易证 三角形PAG与三角形EFP全等
而 PG垂直EP,AG垂直FP
所以 AP垂直EF
易证 三角形PAG与三角形EFP全等
而 PG垂直EP,AG垂直FP
所以 AP垂直EF
追问
详细点好不好。
追答
延长FP与AB交于G
因为 GPEB是正方形
所以 GP=PE=BE=BG
而 FP=EC=BC-BE , AG=AB-BG
BC=AB
所以 FP=AG
显然 三角形PAG与三角形EFP都是直角三角形
所以 三角形PAG与三角形EFP全等 (边角边)
如果“相似三角形对应边的夹角相等或互补”没学,那么看下面:
延长 AP交EF与H
那么 角FPH=角APG
因为 角GAP=角HFP
所以 角PHF=角PGA=90度
即 AP垂直EF
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延长AP交CB于G,EF于H,连接PC。
∵PE平行AB,所以△PEG~△ABG
∴∠EPG=∠BAG
∵轴对称(或者△APB全等于△CPB BP=PB ∠ABD=∠CBD AB=CB)
∴∠PCB=∠PAB
∵矩形PECF
∴∠PCB=∠FEC
∴∠PAB=∠FEC
∴∠EPG=∠FEC
∵∠PEF=∠EFC
∴△PEH~△EFC
∴∠PHE=∠C=90°
所以AP⊥EF
∵PE平行AB,所以△PEG~△ABG
∴∠EPG=∠BAG
∵轴对称(或者△APB全等于△CPB BP=PB ∠ABD=∠CBD AB=CB)
∴∠PCB=∠PAB
∵矩形PECF
∴∠PCB=∠FEC
∴∠PAB=∠FEC
∴∠EPG=∠FEC
∵∠PEF=∠EFC
∴△PEH~△EFC
∴∠PHE=∠C=90°
所以AP⊥EF
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