Question

如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E、F，求证AP⊥EF。

Answer 1

延长FP与AB交于G
易证 三角形PAG与三角形EFP全等
而 PG垂直EP，AG垂直FP
所以 AP垂直EF

追问

详细点好不好。

追答

延长FP与AB交于G
因为 GPEB是正方形
所以 GP=PE=BE=BG
而 FP=EC=BC-BE ， AG=AB-BG
BC=AB
所以 FP=AG
显然 三角形PAG与三角形EFP都是直角三角形
所以 三角形PAG与三角形EFP全等 （边角边）

如果“相似三角形对应边的夹角相等或互补”没学，那么看下面：
延长 AP交EF与H
那么 角FPH=角APG
因为 角GAP=角HFP
所以 角PHF=角PGA=90度
即 AP垂直EF

Answer 2

延长AP交CB于G，EF于H，连接PC。
∵PE平行AB，所以△PEG~△ABG
∴∠EPG=∠BAG
∵轴对称（或者△APB全等于△CPB BP=PB ∠ABD=∠CBD AB=CB）
∴∠PCB=∠PAB
∵矩形PECF
∴∠PCB=∠FEC
∴∠PAB=∠FEC
∴∠EPG=∠FEC
∵∠PEF=∠EFC
∴△PEH~△EFC
∴∠PHE=∠C=90°
所以AP⊥EF

Answer 3

瞅瞅！