Question

如何理解矩阵合同的充要条件？

Answer 1

二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。相似矩阵与合同矩阵的秩都相同。
设M是n阶实系数对称矩阵，
如果对任何一非零实向量X，都使二次型f(X)=
X′MX>0，则称f(X)为正定二次型，f(X)的矩阵M称为正定矩阵。一种实对称矩阵。正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(=A′)称为正定矩阵。
判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。
　
判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。
　
判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。

扩展资料：
1、反身性：任意矩阵都与其自身合同；
2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A；
3、传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C；
4、合同矩阵的秩相同。
5、矩阵合同的主要判别法：设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同；设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。

Answer 2

假设矩阵为a，则充要条件为：
1）a有n个线性无关的特征向量.
2)a的极小多项式没有重根.
充分非必要条件：
1)a没有重特征值
2)a*a^h=a^h*a
必要非充分条件：
f(a)可对角化,其中f是收敛半径大于a的谱半径的任何解析函数