用导数求函数最值

做一个容积为300m∧3的无盖圆柱形蓄水池,已知池底单位造价为周围单位造价的两倍.问蓄水池的尺寸应怎样设计才能使总造价最低????... 做一个容积为300m∧3的无盖圆柱形蓄水池,已知池底单位造价为周围单位造价的两倍.问蓄水池的尺寸应怎样设计才能使总造价最低???? 展开
百度网友0117f73
2012-11-10 · TA获得超过4.7万个赞
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解:
设长:a,宽:b,高:c,
则abc=300
池底的单位造价为2m,则周围的单位造价为m
总造价P=ab·2m+2(bc+ac)m
=2m(ab+bc+ac)
≥2m·3 ³√(ab·bc·ac)
=60m ³√90
当且仅当a=b=c=³√300时,取等号。
当蓄水池的长宽高都相等,且为³√300m时,总造价最低
高州老乡
2012-11-13 · TA获得超过1.2万个赞
知道大有可为答主
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设底部半径为r,高为h,周围单位造价为m
则总造价为f=m*2πrh+2m*πr^2=2mπ(r^2+rh)
又πr^2h=300,所以h=300/(πr^2)
f=2mπ[r^2+300/(πr)]=2mπr^2+600m/r=f(r)
此函数有极值,则f'(r)=4mπr-600m/r^2=0
则4mπr=600m/r^2,r^3=150/π,
则r=(150/π)^(1/3),h=300/(πr^2)=300/[π(150/π)^(2/3)]=2(150/π)^(1/3)=2r
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