Question

线性方程组解的结构！

α1=(1,2,5,7)T
α2=(3,-1,1,7)T
α3=(2,3,4,20)T
是齐次线性方程组（I）的一个基础解系

β1=(1,4,7,1)T
β2=(1,-3,-4,2)T
齐次线性方程组（II）的一个基础解系

求这两个不同方程组的公共解

答案： k(1/2 * β1 + β2)

Answer 1

解:方程组(I),(II)的公共解β既可由α1,α2,α3线性表示, 又可由β1,β2线性表示.
设β=k1α1+k2α2+k3α3=t1β1+t2β2.
则 k1α1+k2α2+k3α3-t1β1-t2β2=0.
(α1,α2,α3,-β1,-β2)=
1 3 2 -1 -1
2 -1 3 -4 3
5 1 4 -7 4
7 7 20 -1 -2
-->(用初等行变换化为行最简形)
1 0 0 0 3/14
0 1 0 0 -4/7
0 0 1 0 0
0 0 0 1 -1/2
所以 (k1,k2,k3,t1,t2)=c(-3/14,4/7,0,1/2,1).
故两个方程组的公共解为 t1β1+t2β2 = (c/2)β1+cβ2
或者表示为 k1α1+k2α2+k3α3 = (-3c/14)α1+(4c/7)α2+0α3