Question

如图，在Rt三角形ABC中，角ACB=90度，点E是边BC上的一点，过点E作FE垂直BE交AB

于点F，且EF=AF，以点E为圆心，EC长为半径作圆E交BC于点D。
1...求证斜边ab是圆o的切线

2...设若AB与圆E相切的切点为G，AC=8，EF=5，连接DA，DG，求S三角形ADG。

Answer 1

证明：
（1）做EG⊥AB，做EH//FA交AC于H。考察三角形ECH和三角形EGF；EFAH为平行四边形，由题知AF=EF，故EF=EH，且角ECH和角EGF皆为直角，角EHC=角BAC=角EFG，故三角形ECH全等于三角形EGF，故EG=EC，因此G为直线AB于圆E的切点。

（2）三角形ACB于三角形FEB相似，AC/FE=BA/BF，令AB=x，则有x/(x-5)=8/5，解出AB=40/3；而AC=24/3，故BC=32/3，三角形ABC的三条边之比为3:4:5
三角形FEB的三条边之比也为3:4:5，故BE=20/3，BF=25/3
解出EC=4，CD=8，从而BD=8/3
过D做AB的垂线交AB于M，DM=8/3*3/5=8/5；而AG=AC=8
AG为三角形ADG的底边，对应的高为DM；故所求面积为32/5=6.4

Answer 2

（1）过点E作EG⊥AB，垂足为G。连接AE
∵AF=EF∴∠FAE=∠FEA
∵EF⊥BC AC⊥BC ∴EF∥AC ∴∠FEA=∠EAC
∴∠FAE=∠EAC
∴△AGE≡△ACE(AAS)
∴EC=EG
∴AB是○E的切线
（2）过点D作DM⊥AB，垂足为M
∵AC=AG且AC=8 EF=AF=5
∴FG=8-5=3
∴EG=4
∵△BEF∽△BAC
∴BF/BA=EF/AC
∴BF=25/3
∴BE=20/3
∴BD=20/3-4=8/3
∵△BDM∽△BEG
∴8/3比20/3=DM/4
∴DM=8/5
∴S△ADG=1/2*8*8/5=6.4

Answer 3

1、过E作AB的垂线EG，G为垂足。
连接A、E，因AF=EF ，所以∠EAF=∠FEA，又EF平行于AC，∠FEA=∠EAC，所以∠GAE=∠CAE。
在△ACE与△AGE中，AE=AE，∠ACE=∠AGE=90°，∠CAE=∠GAE。所以，△ACE≌△AGC
所以EC=EG，即G在圆E上，有又EG⊥AB，所以AB是圆E的切线。
2、可利用上面结果，AG=AC=8，过D作AB的垂线，根据相似求出垂线长度，即三角形的高，利用面积公式求得