Question

已知f(x)是关于x的多项式且f'(x)f(x)=f'(x)+f(x)+2x^3+2x^2-1,求f(x)的解析式.

Answer 1

f'(x)f(x)=f'(x)+f(x)+2x^3+2x^2-1
分析：右边的最高次一定是3次,2x^3
［f'(x)+f(x)的次数一定小于3，不然f'(x)f(x)>3啦
就不能相等）
所以：唯一的可能是f(x)是二次，f'(x)是一次，设f(x)=ax^2+bx+c
则f'(x)=2ax+b
原式=(ax^2+bx+c)(2ax+b)=2a^2x^3+3abx^2+(b^2+2ac)x+bc
=2ax+b+ax^2+bx+c+2x^3+2x^2-1=2x^3+(2+a)x^2+(2a+b)x+b+c-1
所以：2a^2x^3+3abx^2+(b^2+2ac)x+bc=2x^3+(2+a)x^2+(2a+b)x+c-1
系数对应相等
2a^2=2,3ab=2+a,b^2+2ac=2a+b,bc=b+c-1
解：a=±1
当a=1时：b=1,c=1
当a=-1(舍去）
所以：f(x)=x^2+x+1
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