Question

关于“参数方程表示的函数”求导疑问！求牛人解答！

求参数方程x=arctant,y=ln(1+t^2）所表示的函数y=y(x)的二阶导数
课本上解答它的一阶导数是2t，这没问题。可是我想问，既然二阶导数是在一阶求导的基础上再求一次导，那为什么二阶导数不是2t的导数即是2，而是2乘arctant导数的倒数呢？
换句话说，既然dy/dx=ψ‘(t)/φ'(t)，这是一阶导数结果。那么求二阶时为什么不对一阶再次求导即二阶导数是ψ‘(t)/φ'(t)的导数呢？而是还要再对ψ‘(t)/φ'(t)再求导，然后乘dt/dx呢？
烦请好心人帮助感激不尽！！！

Answer 1

这个问题你要分清求导对象，其实很容易能明白：
一阶导数是dy/dx=ψ‘(t)/φ'(t)，这个是公式，不必多说
二阶导数d²y/dx²，注意，这里是对x求导，那么，如果你将(2t)求导变成2，你是在对x求导吗？
你会发现，当你求出2的时候，其实你是在对t求导，而不是x，因此是不对的。

现在就出现一个问题，ψ‘(t)/φ'(t)是一个关于t的式子，如何来对x求导呢？于是我们想到了复合函数的求导法则，在这里t不是求导的最终变量，我们可以将其看作中间变量，于是当你求出2时，你只完成了对中间变量求导，根据复合函数的求导法则，还需要再乘以一个中间变量对自变量的导数，也就是乘以(dt/dx)，所以求导结果是2(dt/dx)，这才是对x求导。

当然由于dt/dx是未知的，不过dx/dt是已知的，于是将2(dt/dx)变成2/φ'(t)，现在明白了吧？

如还有问题请追问，没有问题请采纳。

Answer 2

求导的通俗来说就是y/x，二阶导数就可以据此写为y的一阶导数/x来计算，因为是参数方程，即y的一阶导数对t求导/x对t求导，所以楼主的问题是没有除以x对t求导，x对t求导即把arctant求一阶导数