Question

设直线L:y=x+m与椭圆C:x2/a2+y2/(a2-1)=1相交与AB两点,且L过椭圆C的右焦点，若以AB为直径的袁经过椭圆的

（接上）左焦点，试求椭圆C的方程

Answer 1

椭圆C:x²/a²+y²/(a²-1)=1
∵a²-(a²-1)=1
∴左右焦点F1（-1，0），F2(1,0)
∵直线L:y=x+m过F2(1,0)
∴m=-1
即l:y=x-1
y=x-1与x²/a²+y²/(a²-1)=1联立
消去y得：
（1/a²+1/(a²-1))x²-2/(a²-1)x+1/(a²-1)-1=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1+x2=2a²/(2a²-1),x1x2=2a²(1-a²)/(2a²-1)
∵AB为直径的圆经过F1
∴F1A⊥F1B
∴(x1+1,y1)●(x2+1,y2)=0
∴(x1+1)(x2+1)+y1y2=0
∴(x1+1)(x2+1)+(x1-1)(x2-1)=0
∴2x1x2+2=0
∴x1x2=-1
即2a²(1-a²)/(2a²-1)=-1
∴2a²(1-a²)=1-2a²
∴2a⁴-4a²+1=0
解得a²=1+√2/2 (a²>1)
∴椭圆C的方程
x²/(1+√2/2)+y²/(√2/2)=1
即（2-√2）x²+√2y²=1