Question

已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的最小正周期为π，...

已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的最小正周期为π，且其图象经过点（π3，0）． （1）求函数f（x）的解析式； （2）若函数g（x）=f（x2+π12），α，β∈（0，π），且g（α）=1，g（β）=3√24，求g（α-β）的值．

Answer 1

解：（1）因为函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，所以2πω=π，解得ω=2．
所以f（x）=3sin（2x+φ）．
因为函数f（x）的图象经过点(π3，0)，所以3sin(2×π3+φ)=0，
得2π3+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ-2π3，k∈Z．
由0＜φ＜π2，得φ=π3．
所以函数f（x）的解析式为f（x）=3sin(2x+π3)．
（2）依题意有g（x）=3sin[2×(x2+π12)+π3]=3sin（x+π2）=3cosx．
由g（α）=3cosα=1，得cosα=13，
由g（β）=3cosβ=3√24，得cosβ=√24．
因为α，β∈（0，π），所以sinα=2√23，sinβ=√144．
所以g（α-β）=3cos（α-β）=3（cosαcosβ+sinαsinβ）
=3×（13×√24+2√23×√144）=√2+4√74．