Question

已知：如图，正方形ABCD中，AC，BD为对角线，将∠BAC绕顶点A逆时针旋转α°（0＜α＜45），

已知：如图，正方形ABCD中，AC，BD为对角线，将∠BAC绕顶点A逆时针旋转α°（0＜α＜45），旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q，交BC，CD于点E、点F，连接EF，EQ．,求证BE+DF=根号2倍PQ

Answer 1

我的方法很繁琐，供参考吧。

（1）先证明BE+DF=EF,将△ABE逆时针旋转90°到ADM位置（如图）即可证明。

(2)证明∠AEQ=45°，且AE＝根号2倍  AQ.

设对角线交于O点，
由题意可知∠BAE=α°，∠OAQ=α°，所以∠BAE=∠OAQ
因为∠ABE=∠AOQ=90°
所以△ABE∽△AOQ
∴AB：AO=AE：AQ
所以AB/AE=AO/AQ，又因为∠BAO=∠EAQ=45°，
所以△BAO∽△EAQ，
所以∠AEQ=∠ABO=45°.

所以∠AQE=90°，AE＝根号2倍  AQ

同理AF＝根号2倍  AP

（3）证明 △AEF∽△AQP, 从而EF=根号2倍  PQ,得出结论。

由（2）知道AE:AQ=AF:AP=2倍根号2，∠EAF=∠QAP

所以△AEF∽△AQP,

所以EF：PQ=相似比=2倍根号2

从而EF=根号2倍  PQ,

因为    BE+DF=EF,

得出结论BE+DF=根号2倍PQ。