Question

已知函数f（x）是（负无穷，正无穷）上的奇函数，且图像关于直线x=1对称，当x属于［-1，0］时，

已知函数f（x）是（负无穷，正无穷）上的奇函数，且图像关于直线x=1对称，当x属于［-1，0］时，f（x）=1-1/2^x，则f（2012）+f（2013）=

Answer 1

（1）因为f(x)关于x=1对称，所以f(1-x)=f(1+x)，奇函数，所以f(-x)=-f(x)
令1-x=t x=1-t 1+x=2-t
f(t)=f(2-t)
f(-t)=-f(t)=-f(2-t)
令t=u-2 -t=2-u 2-t=4-u
-f(4-u)=f(2-u)=f(u)
f(4-u)=-f(u)=f(-u)
令-u=v
所以f(v)=f(v+4)
所以函数f(x)是以4为周期的周期函数

（2）f(x)=f(2-x)
因为1<=x<=2，所以0<=2-x<=1
所以f(x)=f(2-x)=2^(2-x)-1

（3）因为f(x)是以4为周期的周期函数
所以原式=503*[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+f(0)+f(1)
=503*(0+1+0-1)+0+1
=1
请采纳。

Answer 2

图像关于直线x=1对称 f （1-x)=f(1+x) f（x）是（负无穷，正无穷）上的奇函数 f(-x)=-f(x)
设1+x=t f(t)=f(2-t)=-f(t-2) f(t+2)=-f(t) f(t+2+2)=-f(t+2)=f(t) 所以f(x) 的周期是4
x属于［-1，0］时，f（x）=1-1/2^x
x属于［0，1］时，f（x）=1/2^-x-1
f（2012）=f(4*503+0)=f(0)=0
f(2013)=f(4*503+1)=f(1)=2-1=1
f（2012）+f（2013）=0+1=1