Question

如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．

（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

(1)OD=OC
∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D，
∴DE=CE，∠EOD=∠EOC，
在Rt△ODE与Rt△OCE中，
∵DE=CE，OE=OE，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC
(2)∠ECD=∠EDC
在△ODF与△OCF中，
∵OD=OC，∠EOD=∠EOC，OF=OF，
∴△ODF≌△OCF，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠ODE=∠OCE，
∴∠ECD=∠EDC
(3)OE是线段CD的垂直平分线
∵△ODF≌△OCF，
∴DF=CF，
∴OE是线段CD的垂直平分线

Answer 2

（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA
∴△ECD是等腰三角形，∠CEO=∠DEO
∴EF是△ECD的中线
∴EF⊥CD即OE是CD的垂直平分线
（2）有点比较懒得写，总之，△OCD是一个等边三角形，△ECD的CD是等边三角形的边