Question

如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,过C作CE⊥AB于E,且CD=CB

求证：∠ABC+∠ADC=180° ，AE=（AB+AD)/2

Answer 1

证明：

过点C作CF⊥AD交AD延长线于点F

1）

因为：AC是∠BAD的平分线

所以：CF=CE

因为：∠CFD=∠CEB=90°

因为：CD=CB

所以：RT△CFD≌RT△CEB（HL)

所以：∠CDF=∠CBE=∠ABC

因为：∠CDF=180°-∠ADC

所以：∠ABC=180°-∠ADC

所以：∠ABC+∠ADC=180°

2）

由1）知道，AF=AE

同时有：DF=BE

所以：AD=AF-DF=AE-BE

因为：AB=AE+BE

以上两式相加得：

AD+AB=2AE

所以：AE=(AB+AD)/2

Answer 2

在AB上取AF=AD，连接CF
因为AC平分∠BAD，AC=AC，AF=AD
所以△AFC≌△ADC
所以CF=CD，∠AFC=∠ADC
因为CD=CB
所以CF=CB
所以∠BFC=∠ABC
因为∠AFC+∠BFC=180°
所以∠ABC+∠ADC=180°

因为CF=CB，CE⊥AB
所以EF=EB
因为AB=AF+EF+EB，AD=AF
所以AB+AD=2(AF+EF)=2AE
所以AE=(AB+AD)/2

Answer 3

补充:∠ABC+∠ADC=180°;
求证:AE=(AB+AD)/2.证明:作CF⊥AD的延长线于F.又AC平分∠BAD;CE⊥AB,则:CF=CE.(角平分线的性质)又CD=CE,故Rt⊿CFD≌RtΔCEB(HL),DF=BE;又AC=AC,则Rt⊿AEC≌RtΔAFC(HL),则AE=AF.所以:AE=(AE+AF)/2=[(AB-BE)+(AD+DF]/2=(AB+AD)/2.

Answer 4

过点C做AD的垂线CF，则可证三角形CEB全等于CDF（CD=CB CE=CF 角ceb=角cfd），则角abc=角cdf 角cdf+角adc=180度
AB+AD=AE+EB+（AF-DF）=AE+EB+AE-Eb=2AE