Question

设函数f(x)在(0,+∞)内有界可导,则

A当limx→+∞ f(x)=0时，必有limx→+∞ f'(x)=0
Blimx→+∞ f'(x)存在时，必有limx→+∞ f'(x)=0
C当limx→0+ f(x)=0时，必有limx→0+ f‘(x)=0
Dlimx→0+ f‘(x)存在时，必有limx→0+ f‘(x)=0
选什么，求高手求解，给出详细证明！

Answer 1

选B

不妨设 lim f'(x) = A > 0
则存在M>0,当 x>M时有 f'(x)> A/2
由中值定理，当x>M时有: f(2x)-f(x) = f'(c)x > Ax/2
而不等式的右边是无界的。矛盾。

Answer 2

B 对。
反证：
若limx→+∞ f'(x)=A 非0. 则存在N>0, 使得 当 x＞N　时，　｜f＇（x）｜＞　K＝｜A｜／2．

固定x0＞N，　任给x＞x0，　存在　x1，　x0＜x1＜x，　使得　
f（x）－f（x0）＝f＇（x1）（x－x0）
＝＝＞　｜f（x）｜＞＝　｜f＇（x1）（x－x0）｜－｜f（x0）｜
　　＞＝　K（x－x0）－｜f（x0）｜
当x－－＞无穷大时，显然　｜f（x）｜－－》无穷大　不可能有界。　矛盾。　所以B成立。

追问

那其他的选项呢？能不能也帮忙说明一下，谢谢！

追答

其他的反例：
A。 f(x)=sin(x^2) /x
C。f(x)=x
D. f(x)=x