Question

如图四边形ABCD中∠A=∠B=90°∠C＝60°CD=2ADAB=4(1)在AB边上做点P使PC+PD最小（2）求出①中PC+PD的值

如图四边形ABCD中∠A=∠B=90°∠C＝60°CD=2ADAB=4(1)在AB边上做点P使PC+PD最小（2）求出①中PC+PD的值

Answer 1

作点D关于AB的对称点D′，连接D′C交AB于点P，连接PC,PD，则PC+PD为最小。
证明：设P′为AB边上异于点P的点，
∵点D′是关于AB的对称点D，
∴PD= PD′, P′D=P′D′
∴在△D′P′C中，有:
D′C<D′P′+P′C ,则：D′P+PC<DP′+P′C ,即：
PC+PD<DP′+P′C，
∴PC+PD为最小。
这时，求得PC+PD=8 。

Answer 2

解：
（1）延长CB至F,使BF=BC，连接DF交AB与P.
则这点P就是所求的点。
（2）
作直角梯形的高DE。
得AB=DE=4，AD=BE.
由直角三角形CDE，解得CE=4√3/3，CD=8√3/3.
由CD=2AD得AD=BE=4√3/3，BC=8√3/3.
在直角三角形DEF中，DE=4，EF=BE+BF=12√3/3，由勾股定理得DF=8
所以PC+PD=PF+PD=DF=8