Question

已知函数f(x)和g(x)的定义域为R,满足f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y)

1、已知函数f(x)和g(x)的定义域为R,满足f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),f(-2)=f(1)不等于0，则g（1）+g（-1）=？ 2、证明函数f(x)=x-a/x（a>0）在（0，正无穷）上为增函数。 3、已知函数f(x)的定义域为R，对任意x1,x2属于R都有f（x1+x2）=f(x1)乘f(x2)，且f(x)不等于0，当x>0,f(x)>1.求f（0）？证明f(x)在（0，正无穷）上为增函数。 要过程~~

Answer 1

【1】f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y)=-[g(x)f(y)-f(x)g(y)]=-[f(y)g(x)-g(y)f(x)]=-f(y-x),
所以
f(x)为奇函数．
-f（-2）=f(2)=f[1-(-1)]=f(1)g(-1)-f(-1)g(1)=f(1)g(-1)+f(1)g(1)=f(1)[g(-1)+g(1)]
因为f(-2)=f(1)，上式可化为：
g(-1)+g(1)=-1
【2】设x1>x2>0
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+a(x1-x2)/x1x2>0,所以函数在（0，正无穷）上为增函数。
【3】f（x1+x2）=f(x1)*f(x2)令x1=x2=o
则f（0）=f（0）*f（0）解得f（0）=0或者1，由已知，f(x)不等于0，所以f（0）=1.
对于任意x1>x2>0，
f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)*f(x2)-f(x2)=f(x2)[f(x1-x2)-1]
当x>0时,f(x)>1.所以f(x)>0,[f(x1-x2)-1]>0,
得f(x1)>f(x2),
即f(x)在（0，正无穷）上为增函数。