Question

相似矩阵的特征向量?B=P^(-1)AP,A和B相似,如果C是A,B的一个特征值...

相似矩阵的特征向量? B=P^(-1)AP,A和B相似,如果C是A,B的一个特征值,m是矩阵A的关于C的特征向量……为什么B的关于特征值C的特征向量是P^(-1)m?怎么推的?..

Answer 1

式一：B
=
(P^-1)AP
(相似矩阵的定义)所以,得式二：B(P^-1)
=
(P^-1)AP(P^-1)
(式一左右两边同乘以
P^-1)
=
(P^-1)A
(因为
P(P^-1)
=
I
)又因为
Am
=
Cm
(特征值的定义)所以：B(P^-1)m
=
(P^-1)Am
(
式二左右同时乘以m
)=
(P^-1)Cm
(
因为Am
=
Cm
)=
C(P^-1)m
(
C是常数,可以任意改变所在位置)观察上式最左边和最右边,我们发现
B
[
(P^-1)m
]
=
C
[
(P^-1)m
],满足B关于特征值C的特征向量的定义,因此
(P^-1)m
是此特征向量.