Question

已知函数f(x)={x^2+x-a+1,x≥a;x^2-x+a+1,x≤a

(1)若a=0，求证：f(x)为偶函数
（2） 函数f(x)的最小值为3，求a的值
具体过程，谢谢

Answer 1

(1)
证明：
当a=0时，f(x)=x^2+x+1,x>=o
f(x)=x^2-x+1,x<=o
当x>=0时，-x<=o;
即f(-x)=(-x)^2+x+1=f(x)；
同理可证当
x<=o，f(x)=f(-x);
所以f(x)为偶函数。
（2）函数f(x)可写成f(x)=x²+|x-a|+1
当x-a≥0时,f(x)=x＾2+x-a+1 =(x+1/2)^2+3/4-a ①
当x-a< 0时,f(x)=x＾2-x+a+1 =(x-1/2)^2+3/4+a ②
在a<-1/2时,满足①式,f(x) 才有最小值,最小值为3/4-a ，此时a=-9/4
在a> 1/2时,满足②式,f(x) 才有最小值,最小值为3/4+a ，此时a=9/4
在-1/2≤a≤ 1/2时,f(x) 有最小值1+a^2 ，此时a=4

Answer 2

(1)
证明：
当a=0时，f(x)=x^2+x+1,x>=o
f(x)=x^2-x+1,x<=o
当x>=0时，-x<=o;
即f(-x)=(-x)^2+x+1=f(x)
因为f(x)=f(-x)
所以f(x)为偶函数。
（2）不知道了