Question

验证极限存在,但不能用洛必达法则得出

lim（x趋于正无穷大）（e的x次方+e的-x次方）/（e的x次方-e的-x次方）

Answer 1

因为
lim(x趋于正无穷大)(e的x次方+e的-x次方)/(e的x次方-e的-x次方)
=lim(x趋于正无穷大)[(e的x次方+e的-x次方)/e的x次方]/[(e的x次方-e的-x次方)/e的x次方]
=lim(x趋于正无穷大)(1+e的-2x次方)/(1-2e的-x次方)
=(1+0)/(1-0)
=1
所以极限存在

而因为lim(x趋于正无穷大)(e的x次方+e的-x次方)/(e的x次方-e的-x次方)
=lim(x趋于正无穷大)(e的x次方+e的-x次方)'/(e的x次方-e的-x次方)' .......若用洛必达法则
=lim(x趋于正无穷大)(e的x次方-e的-x次方)/(e的x次方+e的-x次方)
=lim(x趋于正无穷大)(e的x次方-e的-x次方)'/(e的x次方+e的-x次方)' .......若再用洛必达法则
=lim(x趋于正无穷大)(e的x次方+e的-x次方)/(e的x次方-e的-x次方)
出现循环
所以不能用洛必达法则得出

Answer 2

解：
lim【x→+∞】[e^x+e^(-x)]/[e^x-e^(-x)]
=lim【x→+∞】[e^(2x)+1]/[e^(2x)-1] 【上式分子分母同时乘以e^x得到的】
=lim【x→+∞】[1/e^(2x)+1]/[1-1/e^(2x)]
=(0+1)/(1-0)
=1

追问

第二部怎样换算成第三步的？

追答

分子分母同时除以e^(2x)