Question

高代证明题设f(x)是数域P上的n次多项式,试给出f'(x)|f(x)的充要条件

高代证明题 设f(x)是数域P上的n次多项式,试给出f'(x)|f(x)的充要条件

Answer 1

当且仅当f(x)
=
a(x+b)^n.
证明：充分性显然,必要性：我们考察f(x)的分裂域E,对于任意α∈E使得f(α)
=
0,我们有f(x)
=
(x-α)^kg(x),这里(x-α)不整除g(x).由f'(x)
=
(x-α)^(k-1)[(x-α)g'(x)
-
g(x)]我们知道,α在f'(x)中的重数为k-1,因此若deg(g(x))
>
1,我们有deg(f'(x))
=
k_1
-
1
+
k_2
-
1
+...+
k_m
-
1
=
n
-
m
<
n
-
1矛盾!所以f(x)
=
(x-α)^n.
有疑问,（也可以不用分裂域的思想,用唯一分解性也可以,只不过叙述更麻烦一点）