Question

抛物线y=-x^2+4上存在两点关于直线y=kx+3对称，则k的取值范围是

要详细过程，问了几天都没人答的出吗，数学天才帮帮忙= =
有没人知道怎么作呀

Answer 1

俊狼猎英团队为您解答

设：A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线y=－x²＋4上的两点，
A、B中点坐标((x1+x2)/2，(y1+y2)/2)在直线：y=kx+3上,
∴(y1+y2)/2=k*(x1+x2)/2+3……①,
∵y1=-x1^2+4，y2=-X2^2+4,
∴y1-y2=(x2-x1)(x1+x2)，
x1+x2=-(y1-y2)/(x1-x2)
由AB与直线垂直得：x1+x2=1/k，……②
把②代入①得：y1+y2=k*(1/k)+6=7
又y1+y2=-(x1^2+x2^2)+8，
∴x1^2+x2^2=1……③
把②代入③整理得：
2x1^2-2/k*x1+1/k^2-1=0，
存在不同A、B，
∴Δ=4/k^2-8(1/k^2-1)=8-4/k^2>0
∴k^2>1/2，
∴k>√2/2或k<-√2/2

Answer 2

设：A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线y=－x²＋4上的两点，且点A、B关于直线y=kx＋3对称，则：
直线AB的斜率是－1/k，设：
直线AB的方程是：y=－(1/k)x＋b
将直线AB的方程代入抛物线y=－x²＋4中，得：
－(1/k)x＋b=－x²＋4
x²－(1/k)x＋(b－4)=0
这个方程的解是x1、x2，则：
①△=(1/k)²－4(b－4)>0 -------------------------------(1)
②x1＋x2=1/k，则AB中点的横坐标是x0=(x1＋x2)/2=1/(2k)，代入AB方程，得：
AB中点的纵坐标是：y0=－1/(2k²)＋b
③因AB中点在直线y=kx＋3上，则：
－1/(2k²)＋b=(1/2)＋3
即：
b=[1/(2k²)]＋(7/2)
将b代入(1)式中，得：
(1/k)²－4b＋16>0
(1/k²)－[(2/k²)＋14]＋16>0
2>1/k²
k²>1/2
得：
k>√2/2或k<－√2/2

Answer 3

解：设y=-1/k+c，与抛物线交于两点（能用k表示出来），与y=kx+3交于一点，分别可以求出两点与两条直线的交点的距离并列等式,等式你可以自己列，，，，，

追问

我会这步

追答

那就自己列啊，列出了没,走到这步就可以列出来了哦，可以设二个对称点是B(X1,Y1),C(X2,Y2),则BC的方程可设为x=-ky+m.

代入方程中得到:y=-(-ky+m)^2+4
k^2k^2-(2km-1)y+m^2-4=0
y1+y2=(2km-1)/k^2,y1y2=(m^2-4)/k^2
设BC中点坐标是M(xo,yo)
yo=(y1+y2)/2=(m^2-4)/(2k^2)
xo=-k*(m^2-4)/(2k^2)+m=(4-m^2)/(2k)+m
又M在直线y=kx+3上,则有yo=kxo+3
(m^2-4)/(2k^2)=(4-m^2)/2+km+3