Question

已知如图在直线ab与x轴y轴分别交于ab两点与双曲线y等于x分之k

如图，已知直线l分别与x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线 （a≠0，x＞0）分别交于D、E两点． （1）若点D的坐标为（4，1），点E的坐标为（1，4）： ① 分别求出直线l与双曲线的解析式；（3分） ② 若将直线l向下平移m（m＞0）个单位，当m为何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点？（4分） （2）假设点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为（0，b），点D为线段AB的n等分点，请直接写出b的值.（2分）

Answer 1

（1）①反比例函数的解析式为 ，直线AB的解析式为y=-x+5； ②当 时，直线l与反比例函数有且只有一个交点； （2） 试题分析：（1）、①把点D或点E的坐标代入双曲线 （a≠0，x＞0）中，易求反比例函数的解析式为 ，设直线AB的解析式为y=ax+b，再把点D或点E的坐标代入，可得一个二元一次方程组，求得直线AB的解析式为y = -x+5； ② 依题意可设向下平移m（m＞0）个单位后解析式为 ，直线l与双曲线有且只有一个交点即 (整理得 )的△=0即△= ， 解得： ， （舍去），即当 时，直线l与反比例函数有且只有一个交点； (2)、过点D作DF⊥OA于F(如下图)，则△ADF∽△ABO得 ，即 解得：DF= ，AF= ；所以OF=OA-AF=a- = ，所以点D的坐标为（ ， ），又因为点D在双曲线 （a≠0，x＞0）上，所以 × =a，所以 . 试题解析：(1) ①易求反比例函数的解析式为 ， 直线AB的解析式为y = -x+5；（5分） ② 依题意可设向下平移m（m＞0）个单位后解析式为 ， 由 ，得 ， ∵ 平移后直线l与反比例函数有且只有一个交点，∴△= ， ∴ ， （舍去）. 即当 时，直线l与反比例函数有且只有一个交点；(5分) (2) .(2分)