Question

解数列方法有哪些？例如：裂项相消、错位相减、倒序相加、分组求和等.....

最好加例题讲解！谢谢！！例题简单一下！Thank you！！

Answer 1

1. 公式法：　　等差数列求和公式:
　　Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
　　等比数列求和公式：
　Sn=na1(q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)
　其他
　1+2^2+3^2+4^2+........+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
　1+2^3+3^3+4^3+........+n^3=[n(n+1)/2]^2
2.错位相减法　　适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 和等差等比数列相乘 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
例如：
an=a1+(n-1)d
　bn=b1·q^(n-1)
Cn=anbn
Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn
qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) ______①
=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)
=a1b1-(a1+nd-d)·b1q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)
Tn=上述式子/(1-q)
此外.①式可变形为
Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(Sn-b1) Sn为{bn}的前n项和.
此形式更理解也好记
3.倒序相加法　　这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)

　　Sn =a1+ a2+ a3+...... +an

　　Sn =an+ a(n-1)+a(n-2)...... +a1

　　上下相加 得到2Sn 即 Sn= （a1+an)n/2
4.分组法　　有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

　　例如：an=2^n+n-1
5.列项法　　适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。

　　常用公式：

　　（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) ，1/（n-1）-1/n<1/n2<1/n-1/n+1（n≥2）

　　（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

　　（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

　　（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

　　（5） n·n!=(n+1)!-n!

　　（6）1/（√n+√（n+a））=1/a（√（n+a）-√n）

　　[例] 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.

　　解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）

　　则

　　Sn

　　=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）

　　= 1-1/(n+1)

　　= n/(n+1)

　　小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

　　注意： 余下的项具有如下的特点

　　1余下的项前后的位置前后是对称的。

　　2余下的项前后的正负性是相反的。
6.数学归纳法　　一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

　　（1）证明当n取第一个值时命题成立；

　　（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

　　例：

　　求证：

　　1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

　　证明：

　　当n=1时，有：

　　1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

　　假设命题在n=k时成立，于是：

　　1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

　　则当n=k+1时有：

　　1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

　　= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

　　= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

　　= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)

　　= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5

　　即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证
7.通项化归　　先将通项公式进行化简，再进行求和。

　　如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求和。
8.并项求和：　　例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n

　　方法一：（并项）

　　求出奇数项和偶数项的和，再相减。

　　方法二：

　　（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]