Question

limx趋近于无穷大 e∧x/x∧n是不是不存在？为什么？

Answer 1

答：
你的想法是对的！实际上：lim(x→+∞)
e^x/x^n
=
+∞，lim(x→-∞)e^x/x^n
=
0
1、从函数的极限来考查，想要知道lim(x→+∞)
e^x/x^n的情况，也就是考查，在相同的增量Δx下，y=e^x的增量Δy和y=x^n的增量Δy谁增长的趋势大！
而：Δy=e^(x+Δx)
-e^x，
Δy=(x+Δx)^n
-x^n，则：
Δy/Δx=[e^(x+Δx)
-e^x]/Δx，
Δy/Δx=[(x+Δx)^n
-x^n]/Δx，
显然根据导数定义，上式在Δx→0时：[e^(x+Δx)
-e^x]/Δx→e^x，[(x+Δx)^n
-x^n]/Δx→nx^(n-1)，这种情况下不太好比较，反复应用上述思想，则：分子还是e^x，而分母是：
n!就是一个常数了，因此，分子比分母增长快，整个极限为+∞！
同理：当x→-∞时，分子变成：1/e^(-x)，因此整个极限趋近于零！
2、如果你学了罗比达法则，则很容易就明白了该极限：lim(x→+∞)
e^x/x^n
=
+∞，lim(x→-∞)e^x/x^n
=
0，实际上，1用的就是罗比达思想！
3、从函数角度理解：y=e^x是指数函数，y=x^n是幂函数，显然，指数函数增长率高于幂函数！因此，也能得出上述结论！