Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，

点B的坐标为（3,0），与y轴交于点C（0，﹣3）。
①求这个二次函数的关系式及点A的坐标；
②若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？求出此时点P的坐标和最大面积;
③若点Q是抛物线上的一个动点，当点Q运动到什么位置时，△ACQ是以AC为一条直角边的直角三角形?请直接写出此时点Q的坐标。

Answer 1

（1）将B（3，0），C（0，-3）代入y=x²+bx+c
得0=9+3b+c
-3=c，b=-2，
y=x²-2x-3
=（x-1）²-4，
令x²-2x-3=0，
（x-3)(x+1)=0
∴B（3，0） A(-1，0）

（2）设直线L∥BC且与y相切，切点为P，
即P到直线BC距离最远，
设直线L：y=x-m，
联立：x²-2x-3=x-m，
x²-3x+m-3=0
Δ=3²-4（m-3）=0

m=21/4.，
∴x²-3x+21/4-3=0

（x-3/2)²=0，
x=3/2，y=-15/4，∴P（3/2，-15/4）
两条平行线距离：（21/4-3）×√2/2=9√2/8，
△BCP面积S=3√2×9√2/8×1/2=27/8.
（3）过A作AQ⊥AC交于y，
由LAC：y=-3x-3，
∴LAQ：y=1/3（x+1）

得：x²-2x-3=1/3x+1/3
3x²-7x-10=0
（3x-10）(x+1)=0
x1=10/3,,y1=4/3,∴Q1（10/3,，13/9）（x=-1是A点）
过C作CQ⊥AC交于y，
由LCQ：y+3=1/3x
x²-2x-3=1/3x-3
3x²-7x=0，
x=7/3，y=-2/3，∴Q2（7/3，-20/9）