Question

如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝1，AM＝2，AE＝ . (1)求证：BC

如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝1，AM＝2，AE＝ . (1)求证：BC是⊙O的切线；(2)求 的长．

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Answer 1

（1）详见解析；（2） .

试题分析：(1)根据所给的三角形AME的三边数据，结合勾股定理逆定理可判断出三角形AME是直角三角形，即∠AEM=90°，再根据两直线平行，同位角相等，可得∠B=90°，根据切线的判定定理：经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线.可证得BC是圆O的切线.(2)连接OM,根据正弦函数的定义sin∠A= ,可求出∠A=30°，根据圆周角定理，可求出∠EOM=60°，在△OME中，根据正弦函数的定义sin∠EOM= ,可求出OM的值，知道了扇形的半径和圆心角，利用弧长公式即可求出胡BM的长. 试题解析：（1）证明：∵ME=1，AM=2，AE= ，∴ME 2 +AE 2 =AM 2 =4， ∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°． 又∵MN∥BC，∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB⊥BC． 又∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线； （2）解：连接OM． 在Rt△AEM中，sinA= = ， ∴∠A=30°． ∵AB⊥MN， ∴ = ，EN=EM=1， ∴∠BOM=2∠A=60°． 在Rt△OEM中，sin∠EOM= ， ∴OM= ，（1分） ∴ 的长度是： ? = ．