Question

求经过点A（3，-1），并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程

求经过点A（3，-1），并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程．

Answer 1

当焦点在x轴时，设双曲线的标准方程为 x 2 a 2 - y 2 a 2 =1 ， 把A（3，-1）代入方程得 9 a 2 - 1 a 2 =1 ，a 2 =8， ∴双曲线的标准方程为 x 2 8 - y 2 8 =1 ．       （4分） 当焦点在y轴时，设双曲线的标准方程为 y 2 a 2 - x 2 a 2 =1 ， 把A（3，-1）代入方程得 1 a 2 - 9 a 2 =1 ，a 2 =-8，这种情况不存在．                             （6分）

Answer 2

由于所求的等轴双曲线的渐近线为四个象限的角平分线，其焦点可以在x轴上，也可在y轴上.
可设其方程为x^2-y^2=λ(λ≠0).代入点A(3,-1)的坐标，得
3^2-(-1)^2=λ,
得λ=8
故所求的等轴双曲线方程为：x^2-y^2=8.