Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，（Ⅰ）求B的值；（Ⅱ）求2

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，（Ⅰ）求B的值；（Ⅱ）求2sin2A+cos（A-C）的范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，
∴acosC+ccosA=2bcosB，
由正弦定理得，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入得：2RsinAcosC+2RcosAsinC=4RsinBcosB，
即：sin（A+C）=sinB，
∴sinB=2sinBcosB，
又在△ABC中，sinB≠0，
∴cosB＝

1

2

，
∵0＜B＜π，
∴B＝

π

3

；
（Ⅱ）∵B＝

π

3

，
∴A+C＝

2π

3

∴2sin2A+cos(A?C)＝1?cos2A+cos(2A?

2π

3

)
=1?cos2A?

1

2

cos2A+

3

2

sin2A＝1+

3

2

sin2A?

3

2

cos2A
=1+

3

sin(2A?

π

3

)，
∵0＜A＜

2π

3

，?

π

3

＜2A?

π

3

＜π
∴?

3

2

＜sin(2A?

π

3

)≤1
∴2sin²A+cos（A-C）的范围是(?

1

2

，1+

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